MATEMATICAS	Nota sobre el Ultimo Teorema de Fermat y su Demostración por Andrew Wiles
	© Pablo Kittl, 1999 Fac. Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Chile

RESUMEN [ABSTRACT]

En esta nota se da una idea somera de la naturaleza del Ultimo Teorema de Fermat y su reciente demostración. Se hace mención a las referencias históricas que marcan el proceso de su demostración por Andrew Wiles.

El enunciado del último Teorema de Fermat (1601-1665) quedó anotado en un margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto de Alejandría (150 A.C.) traducida al latín por Claude Gaspar Bachet (1581-1638) publicado en 1621. Este libro, con las numerosas notas marginales de Fermat, fue publicado en 1670 por su hijo Clemente Samuel. El enunciado del teorema dice que la ecuación

no tiene soluciones enteras para n>2. Fermat afirma que tenía una demostración, pero se exime de darla argumentado que el márgen es demasiado estrecho como para dárnosla.

Recientemente, en 1995, Wiles demostró este teorema. Para entender mejor este teorema veamos el caso n=2, para el cual existen soluciones enteras.

Hagamos cuatro filas de números (esquema 1). En la primera van los números naturales 1,2,…; en la segunda sus cuadrados 1, 4, 9, …; en la tercera la diferencia entre los cuadrados vecinos 3, 5, 7, …; en la cuarta las diferencias de las diferencias 2, 2, …

Esquema 1.

Los elementos de la segunda fila se obtienen sumando al cuadrado la diferencia, que es la serie de números impares, y se obtiene el cuadrado siguiente. Si nos fijamos en el número 25=(5)² vemos que se tiene:

Es fácil generalizar esta fórmula obteniéndose:

que da una serie de soluciones enteras a la ecuación (2). La obtención de soluciones enteras en forma matemática y experimental puede hacerse con un computador.

En la serie de cuadrados 4, 9, …, se busca para uno cualquiera de los cuadrados si el menor tiene alguno que sumado al primero da el cuadrado elegido. Por ejemplo, para (5)² = 25, tenemos:

Esquema 2

Solamente se obtiene el caso (3)² + (4)² = (5)² = 9 + 16 = 25. Se ve cómo fácilmente puede obtenerse los casos posibles para un cuadrado cualquiera. El caso general, es decir, la solución de la ecuación (2) cuando x, y, o z no tienen un divisor común es la siguiente:

u y v son números primos entre sí; uno de ellos es par y el otro impar. Si x, y, z tuvieran un divisor común, la ecuación podría escribirse como sigue:

En tal caso, podría obtenerse una solución x, y, z, que conforman una solución reducida.

La sucesión de los números primos:

puede obtenerse fácilmente con el método de la criba de Eratóstenes (275-194 A.C.).

Usando la sucesión (7) y las fórmulas (5) obtenemos la sucesión de soluciones reducidas:

Esta solución se puede estudiar en los tratados elementales de teoría de números de Rademacher y Toeplitz [1] y de Carmichael [2].

Todos estos tipos de investigaciones, tanto teóricas como numéricas se han aplicado al último Teorema de Fermat. Las investigaciones numéricas, con las últimas tecnologías computacionales no han podido encontrar una contradicción al teorema de Fermat. En tanto las investigaciones teóricas no lograron una demostración general sino para ciertos números particulares. Veamos cómo fue el desarrollo histórico de la búsqueda de la demostración general que finalmente obtuvo Wiles.

El primer paso para una demostración fue obtenida por Fermat para n=4, mediante el método conocido como descenso infinito. Aceptando que no se cumple el teorema, se demuestra que se obtiene un absurdo, en este caso, el que los números enteros no tienen un mínimo [2]

Posteriormente, Leonard Euler (1707-1783), lo demostró para n = 3 introduciendo los enteros imaginarios, es decir números de la forma [p, q, (1,2,3,…)].

Estas demostraciones se extienden a todos los números de la forma 3^m ó 4^m (m=1, 2, 3,…). Se vio entonces que sólo sería necesario probar el Teorema de Fermat para los números primos (3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…), puesto que todo número se puede expresar como producto de primos. Fue así entonces como Sophie Germain (1776-1831), propuso que se demostrara para los números primos de la forma 2p+1 (3, 5, 7, 11, …).

Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859) y Adrien Marie Legendre (1752-1833) probaron el teorema para n = 5 en 1825, y en 1839 Gabriel Lamé (1795-1870) lo prueba para n = 7 en forma simultánea con Augustin Louis Cauchy (1789-1857). De esta forma, en 1817 Lamé, proclama haber demostrado el teorema, y ambos dieron, antes de publicar la demostración, los fundamentos de la demostración que se basaba en la unicidad de la factorización de un número cualquiera en números primos. Como se trataba de números imaginarios, Ernest Edward Kummer (1810-1893) y Dimitri Mirimanoff mostraron que eso no se cumplía en este caso. Sin embargo esta demostración podía arreglarse, pero sólo hasta n = 31; para números menores de 100, en particular para n = 37, 59, y 67, no pudieron probarlo.

De esta forma es como termina lo que llamaremos etapa clásica de la demostración del teorema de Fermat..

En 1975 Andrew Wiles (1953- ) comenzó a estudiar las curvas elípticas del tipo , buscando obviamente las soluciones con números enteros.

Por ejemplo, tiene por soluciones 5 ² = 3 ³ - 2, etc.

Cuál es el número E_p de soluciones?…Este problema es difícil porque este número es infinito. Sin embargo usando los sistemas módulo p, el número E_P resulta ser finito. Hay que recordar que un sistema módulo p es, por ejemplo:

Así, para la ecuación , se tiene:

Para esta época, Goro Shimura (1926-1958) y Yutaka Taniyama (1927- ) estudiaron las simetrías de las formas modulares que cubren un espacio -por ejemplo- hiperbólico. Estas formas modulares contienen un número infinito de elementos básicos i. Cada uno de estos elementos básicos consiste en diferentes cantidades. M_i denota la cantidad del i-ésimo elemento básico. Por ejemplo, M₁ = 1, M₂ = 2, M₃ = 4, …. Shimura - Taniyama estudiaron la conjetura de que a cada forma modular le corresponde una curva elíptica y viceversa. Esta correspondencia se establece por la identidad de las sucesiones M y E:

En 1984, Gerhard Frey probó que si se puede probar la conjetura de Taniyama y Shimura, el teorema de Fermat estaba probado, lo que logró demostrando que se verifica lo siguiente:

De esta manera fue como entre 1984 y 1995, Wiles enfocó sus estudios a la forma de probar la conjetura de Taniyama y Shimura, lográndolo en 1995 con una cantidad muy grande de cálculos y cadenas lógicas, entre las cuales se distingue la geometría diferencial.

Una forma sencilla de ver la conexión del Teorema de Fermat con la geometría se obtiene tomando coordenadas homogéneas. Así que dividiendo la ecuación (1) por zⁿ se tiene:

Aquí y son dos coordenadas homogéneas, llamadas de esta forma por cuanto son adimensionales. Además, como z es mayor que x o y, tanto x como h tienen valores mayores que cero y menores que uno, es decir: , . Así que la ecuación (13) se transforma en

En la fórmula (14), x es un cociente de números enteros que se denominan números o fracciones racionales. Veremos que pasa con h de acuerdo con el Teorema de Fermat. Cuando n=1, y a cada fracción racional x corresponde una h . La ecuación, , corresponde a una línea recta como se aprecia en la figura 1. Esta recta pasa por todas las fracciones racionales. En otras palabrass, establece una correspondencia biunívoca entre todas las fracciones racionales del intervalo con el intervalo . Esta recta pasa por los puntos y , como es el caso para todo n.

Figura 1. Representación gráfica de la ecuación de Fermat . Tomando variables homogéneas , queda . Esta ecuación representa una recta que pasa por todos los racionales cuando n=1; un círculo que pasa solo por los racionales Pitagóricos, cuando n=2; una elipse generalizada cuando n>2, que no pasa por ningún racional. Cuando n es muy grande tiende a un segmento n=1, 0<=e<=1, que no contiene ningún racional (segmento de Dirichlet).

En el caso de n=2, la ecuación (14) se convierte en:

Esta es la ecuación de un círculo, donde todos los puntos equidistan del centro y esta distancia es uno. Recuerde el Teorema de Pitágoras. Estas fracciones se obtienen de las soluciones reducidas (8), dividiendo por z:

Entre las fracciones, el círculo solo pasa por estas fracciones racionales pitagóricas. Cuando n es mayor que 2, el teorema de Fermat afirma que tomando x valores racionales los h no pueden tomar el valor de ninguna fracción racional. Los h serán todos irracionales. Se denominan fracciones irracionales aquellas que se forman por adiciones, multiplicaciones , divisiones y extracción de raíz a partir de los racionales. Por ejemplo, para n=3, se tiene:

Cuando h es muy grande (n ® ¥ ), las curvas tienden a acercarse al segmento superior , h =1. Pero este segmento superior no tiene ningún punto racional y se denomina recta de Dirichlet. En geometría mostramos que el teorema de Fermat consiste en afirmar que la figura que representa ecuación (13), para n=1, pasa por todos los racionales; para n=2, pasa por los racionales pitagóricos; para n >= 2, no pasa por ningún racional.

Esto no pudo demostrarse en dos dimensiones y fue necesario pasar a 4 dimensiones, dándole a x e y valores complejos. La figura 1 es una sección de la superficie en 4 dimensiones cuando se anulan los puntos imaginarios.

En los libros de Singh y Aczel [3,4], que recomendamos calurosamente, se refiere con más detalles y en forma muy amena toda la historia, así como también se encuentra bibliografía más moderna y especializada. Aquí sólo tratamos de dar una ligera idea de lo que pasó y a qué se refiere el último teorema de Fermat, considerado como uno de los grandes desafíos de la matemática.

Este teorema resistió 300 años antes de ser demostrado y se lo consiguió gracias a un isomorfismo con propiedades geométricas. Es un ejemplo más de que muchas propiedades matemáticas se han desarrollado a través de un isomorfismo entre la geometría y otra rama, en este caso, la teoría de números. Se pensó alguna vez que pertenecía a la clase de proposiciones matemáticas que no pueden ser probadas o negadas.

Otro caso fue el estudio de las soluciones de la ecuación de quinto grado, realizado por Felix Klein (1849-1925), quien las sistematizó y que se obtienen a través de funciones modulares elípticas, a través de los grupos de simetría del icosaedro [5].

Referencias

Bibliografía

[1] Rademacher, H. y Toeplitz, O., "Números y Figuras", Alianza Editorial, Madrid, 1970.

[2] Carmichael, R. D., "The Theory of numbers and Diophantine Analysis", Dover, N.Y., 1959.

[3] Singh, S., "Fermat's Enigma", Walker, N.Y., 1997.

[4] Aczel, A. D., "Fermat's last theorem", Dell, N.Y., 1997.

[5] Klein, Félix, "Elementary Mathematics from an Advanced Stand point, I, Arithmetics, Algebra, Analysis", Dover, N.Y., 1947.

Punteros de Interés

Para un análisis más profundo se recomienda leer el artículo contenido en la siguiente página WEB: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Fermat's_last_theorem.html